Relación de Paralelismo y Perpendicularidad entre Rectas

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.

El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas:

• Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.
• Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas:

• Con regla y escuadra
• Con regla y compás

Teorema:  En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.

Ecuación de la Recta

En una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,y1) y tiene la pendiente dada m es:

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3.

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y − y1 = m(x − x1):

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Ángulo de Inclinación y Pendiente

Es un ángulo formado por una línea horizontal y una línea de visión por arriba de ella que mide menos de 90 grados.

La inclinación de una recta cualquiera (que no sea paralela al eje X) es el ángulo menor que la recta forma con la dirección positiva del eje X, y se mide desde el eje X hacia la recta, en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Pendiente de una Recta

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

Se denota con la letra m


Cálculo de la pendiente:

Pendiente dado el ángulo:

Pendiente dados los puntos:

 

Pendiente dada la ecuación de la recta:

Ejemplo:

La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

 

Lugar Geométrico

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.

Ejemplos:

• El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz.

• La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad.

• Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan.

Cálculo de Áreas en el Plano Cartesiano

Sea A1, A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido antihorario, tiene como coordenadas: A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3); ..... ; An(xn; yn)

Entonces el área de la región poligonal S correspondiente, es el valor absoluto de la expresión:  

....(1)

Llamada también formula determinante de Gauss

Obsérvese en la determinante se repite al final, el primer par ordenado (x1; y1) correspondiente a la coordenada de A1.

La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.

La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I D

 

De donde:

 

Luego el valor de la determinante estará dada por:

              ...(2)

Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :

....(3)

División de un Segmento en una Razón Dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la rectaque contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

Ejemplo:

¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

Punto Medio de un Segmento

Punto medio es el punto que divide a un segment en dos partes iguales.

El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento. Cumpliendo esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

La fórmula para determinar el punto medio de un segmento en el plano, con coordenadas: (x1,y1) y (x2,y2) es:

Ejemplo:

Dados los puntos A(3, −2) y B(3, 1), hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.

 

Video:  http://www.youtube.com/watch?v=FhI61qxGcfQ
 

Distancia entre Dos Puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje X o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 5 – (-4) = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje Y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5

 

Video: http://www.youtube.com/watch?v=422FkHMMLcI

Sistema de Coordenadas Cartesianas

• Las coordenadas cartesianas se pueden usar para decir dónde estás exactamente en un mapa o gráfico.
• Con las coordenadas cartesianas señalas un punto en un gráfico dando la distancia de lado y hacia arriba:

El punto (12,5) está 12 unidades a la derecha y 5 arriba.

Par Ordenado

Un par ordenado, tal como su nombre lo indica, corresponde a dos números o figuras encerradas en un paréntesis. Su representación general es:

( a , b )

Todo par ordenado escrito con números representa un punto del plano, donde laprimera componente (el primer número) recibe el nombre de abscisa (eje x) y la segunda componente recibe el nombre de ordenada (eje y).

Ejemplo:

Los pares ordenados ( 2 , 3) y ( -3 , 1 ) están representados en el siguiente plano cartesiano (gráfico):